\chapter{Introduktion}

Følger er et redskab man ofte bruger til vise egenskaber som kontinuitet af en funktion mellem to topologiske rum eller forskellige topologiske strukturer som kompakthed eller Hausdorff. Forkærligheden for følger stammer i at begrebet er godt at arbejde med så længe man er i $\R^n$, hvilket er det topologiske rum man oftest befinder sig i, i hvert fald i de indledende år på universitetet. 

Følger er dog for snævert et begreb til, at det kan bruges i mere generelle sammenhænge og derfor udviklede E. H. Moore og H. L. Schmidt i 1922 begrebet net. Net er meget nært beslægtet med følger, og i særdeleshed er en følge et eksempel på et net. Denne nye type konvergens følges op i den indflydelsesrige topologiske bog \emph{General Topology} af J. L. Kelley i 1955, hvori han kalder denne type konvergens for Moore-Schmidt konvergens. I 1936 præsenterede den franske matematiker Henri Cartan filtre, hvilket viser sig at være en anden vej til at beskrive den samme type konvergens som Moore og Schmidt introducerede med net. 

I denne opgave vil jeg introducere både net og filtre i første kapitel. For at illustrere disse abstrakte redskaber vil jeg blande enkelte simple eksempler og sætninger ind kapitlet. Kapitlet slutttes af med en række sammenligninger mellem net og filtres egenskaber. Dette vil blive gjort konstruktivt og dermed være en hjælp i senere sætninger i opgaven. 

Som nævnt er net og følger blevet introduceret med et syn på dem som redskaber. I andet kapitel vil jeg gennemgå de generaliserede karakterisationssætninger for aflukningen af en mængde, kontinuitet, Hausdorff og kompakthed. I hver sætning viser jeg hvordan man kan bruge både net og filtre til disse karakteriseringer og giver eksempel på hvordan de konstruktive sammenligninger i første kapitel kan bruges til at gå frem og tilbage mellem net og filtre. I tredje kapitel vil jeg gennemgå et simpelt bevis for Tychonoffs sætning både med filtre og net. 

Når man har introduceret denne generalisering af følger bliver det interessant at undersøge hvornår den er nødvendig og hvornår man kan klare sig med talfølger. Den skelnende egenskab bliver hvorvidt et rum er første tælleligt, og jeg vil i sidste kapitel vise to eksempler på dette. Derefter kommer to eksempler på rum hvori følger ikke længere er tilstrækkelige til karakterisering af henholdsvist kompakthed og aflukningen af en mængde. 

Denne opgave er skrevet i forbindelse med kurset \emph{Videregående Analyse}, men er skrevet så den er ikke kræver yderligere forudsætninger end et introducerende kursus i matematisk analyse. Jeg vil gerne takke min vejleder Jacob Schach for kyndig vejledning samt min læsegruppe for hjælp til opsætningen i \LaTeX\ .

\vspace*{\onelineskip} 
\begin{flushright}
Rasmus Erbou Røge \\ 
Århus Universitet, \today
\end{flushright}
